第十一章 暂态过程的复频域分析
目录
1. Laplace 变换
对于函数 \(f(t)\) 在 \(t > 0\) 及 \(t = 0\) 的某个邻域内有定义, 且积分 \[ F(s) = \int_{0^-}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t \] 在复平面 \(s\) 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 \(F(s)\) 称为 \(f(t)\) 的 Laplace 变换. 记作 \[ F(s) = L\{f(t)\} \] \(F(s)\) 也称 \(f(t)\) 的 象函数, \(s = \sigma + j\omega\) 称为 复频率.
1.1. 常用的 Laplace 变换对
| 原函数 \(f(t)\), \((t\ge 0)\) | 象函数 \(F(s)\) |
|---|---|
| \(\varepsilon(t)\) | \(\frac{1}{s}\) |
| \(\mathrm{e}^{\alpha t}\) | \(\frac{1}{s + \alpha}\) |
| \(\delta(t)\) | 1 |
| \(A(1- \mathrm{e}^{-\alpha t})\) | \(\frac{A\alpha}{s(s+\alpha)}\) |
| \(t^n \mathrm{e}^{-\alpha t}\) | \(\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}\) |
| \(\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t +\phi)\) | \(\frac{(s+\alpha)\cos\phi - \omega\sin\phi}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\) |
2. Laplace 变换的基本性质
- 线性性:表示略.
- 微分性质: \(L\{f(t)\} = F(s)\), \(L\{f^{\prime}(t)\} = sF(s) - f(0^-)\)
- 积分性质: \[ L \left\{ \int_{0^-}^t f(\xi)\mathrm{d}\xi \right\} = \frac{1}{s}F(s)\]
3. Laplace 逆变换
有理函数的化简.
4. 复频域中的电路定律和电路模型
- 电阻元件
- 电容元件:运算容抗,附加电压源.
- 电感元件:运算感抗,附加电压源.
- 互感元件:附加电压源.
将电感,电容,互感中的为积分方程化简成复频域中线性代数方程.
5. 用 Laplace 变换分析线性动态电路的暂态过程
同线性直流电路.
6. 网络函数
\[H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} L \left[ h(t) \right]\]
复频域网络函数和复数网络函数的关系: \[H(s)\big |_{j\omega}} = H(j\omega)\] \[H(j\omega)\big |_{s} = H(s)\]